今天看到个题感觉很有意思：

一半径为R的圆桶中盛有水，水面低于圆筒的顶部。当它以角速度ω绕竖直轴旋转时，水面呈平面还是抛物线？试证之。

很贴切生活的一道题，根据生活经验，毫无疑问是抛物线。但是如何证明呢？
既然是旋转，那总有力来提供向心力。外侧液面高，根据压强公式ρgh，h越大，压强就越大，外侧液面高，对内测低液面的部分的压强就是用来提供向心力的力。

其中

$$ y_2-y_1=dy $$

外侧压力提供向心力
$$\rho gdyS=mx\omega^2$$$$m=\rho Sdx$$

上两式联立

$$ gdy=\omega^2xdx $$

液面最低处为0，从此处积分

$$ \int_{0}^{y}dy=\frac{\omega^2}{g}\int_{0}^{x}xdx $$

$$ y=\frac{\omega^2}{2g}x^2 $$

得到的结果和网上查到的一致，但是目前并没有看到这种解法。
链接中的三个解法是最常见的，搜到的也都是这三个中的一个，有用势能去平衡，有平衡压强来求解，也有通过受力分析去解决。其中受力分析中的水平方向的部分单拎出来细说，就是上面的求解过程。